透镜设计 caustic design(0)-简介
理论介绍
源光场：曲面是一个平面时的初始明暗图像，对于平行光，初始明暗图像就是一张全白图。
目标光场：目标灰度图，例如一张福字。
stage-1: 洛依德算法 Lloyd's algorithm
对源光场各个像素，以(归一化的)灰度值为概率，进行蒙特卡洛采样 (~几十万个)，当然全白图的蒙卡采样……就是均匀采样。以采样得到的像素点为节点 site生成 Voronai diagram (伏罗诺依图) , 计算每个 Voronoi cell的质心, 以 cell质心为新节点, 更新 sites, 再生成 Voronoidiagram，再找质心，再更新 site位置……不断循环，直到收敛。这一步是为了把源光场分割为几乎等概率的小块。“等概率”是指每个 cell的灰度积分几乎相等。这一步不需要重复进行，算一次，把结果保存下来即可。
stage-2: 最优运输 optimal transport
为stage1中每个节点 voronoi site分配 (初始) 权重, weighted Voronoi diagram叫做 power diagram, cell改叫 power cell, 在目标光场中对 power cell做概率积分。焦散透镜设计的核心思想是： voronoi cell在源光场的概率积分，等于对应的 power cell在目标光场的概率积分。这在数学上抽象为一个最优运输问题，具体等价于优化权重使一个凸代价函数最小。优化采用BFGS算法，就是 scipy. optimize中的fmin l bfgs b功能。得到最优权重后,再计算每个 power cell的质心, 目的是构建起“vornoi cell质心和 power cell质心的一对一映射关系”。
stage-3: 自然领域插值 natural neighbor interpolate与 pytorch优化
首先生成自定义的网格，方形、三角形、什么形状随便，对每个网格节点 (~几十万个)根据stage2得到的映射关系，做自然领域插值，得到每个网格节点的新-旧坐标之间的映射关系。我们希望经过网格节点旧坐标的光线可以打在接收屏的新坐标上，由此，利用折射定律，得到每个网格节点的法线方向，法线积分可得网格节点处的面型高度，有了高度就有了节点处完整面型坐标。
最后，为了抑制法线积分误差，利用 pytorch优化某个目标函数，对节点坐标进行优化微调。
stage-4：利用网格节点坐标生成曲面模型文件
以网格节点的坐标插值出面型函数(B样条曲面插值或线性插值)，用曲面函数生成曲面模型. step或. stl文件。